🟦 Théorème Central Limite (TCL)

Objectif Comprendre et utiliser le TCL pour simplifier le calcul de probabilités lorsque le nombre d’expériences n est grand.

🔑 Énoncé et Formulation

L'idée fondamentale est que l'addition de nombreuses variables aléatoires indépendantes suit approximativement une loi normale.

Soit \(X_1, X_2, \dots, X_n\) une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) d'espérance \(\mu\) et d'écart type \(\sigma\).

1. Variable centrée réduite

La variable \(C_n\) suit approximativement une loi normale centrée réduite : \(\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0; 1)\)

2. Distribution de la moyenne

La moyenne \(\bar{X} = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}\) suit approximativement : \(\bar{X} \sim \mathcal{N}\left(\mu ; \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

⚙️ Application : Approximation de la loi binomiale

Si \(X \sim \mathcal{B}(n; p)\), alors pour n grand, la loi de \(X\) peut être approchée par une loi normale.

Paramètres à utiliser :

  • Espérance : \(\mu = np\)
  • Écart type : \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)

\(X \approx \mathcal{N}(np ; \sqrt{np(1-p)})\)

Conditions de validité L'approximation est considérée comme bonne si et seulement si :
  • \(np \geq 15\)
  • \(n(1-p) \geq 15\)

🔄 Correction de continuité

Puisque l'on passe d'une loi discrète (binomiale) à une loi continue (normale), il faut ajouter ou retrancher 0,5 aux bornes :

  • Pour une valeur ponctuelle : \(P(X = k) \approx P(k - 0,5 \leq Y \leq k + 0,5)\)
  • Pour un intervalle : \(P(a \leq X \leq b) \approx P(a - 0,5 \leq Y \leq b + 0,5)\)

📋 Méthodologie à appliquer

  1. Identifier la loi binomiale d'origine.
  2. Calculer \(\mu\) et \(\sigma\).
  3. Vérifier les conditions \((np \geq 15\) et \(n(1-p) \geq 15)\).
  4. Passer à la loi normale équivalente.
  5. Appliquer la correction de continuité.
  6. Calculer la probabilité avec la calculatrice (fonction normCdf).